Brouwer's fixed point theorem

Let be a continuous function. Then has a fixed point, i.e. there exists such that . #m/thm/topology

Proof

#missing/proof Requires some more advanced topology, however a key step is defining the ray-intersection

We can then argue using the fundamental groups of the disk and sphere.

Corollaries

The retraction theorem for an -ball is equivalent to Brouwer's theorem for an -ball, which states

There exists no continuous retraction , i.e. no continuous such that .

Beweis von Äquivalenz

Sei und der Retraktionssatz bzw. der Fixpunktsatz von Brouwer für .

Angenommen , existiert ein stetiges mit für jedes . Dann ist das oben definierte stetig, und , d.h. . Also .

Angenommen nun , existiert ein stetiges mit . Sei die Abbildung, die Punkte auf ihre Antipoden abbildet. Dann ist eine stetige Abbildung mit keinen Fixpunkten, also . Also .

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